Алексей Сергеевич Барсуков родился 16 марта 1906 года в деревне Касуличи Карачевского уезда Орловской губернии в семье крестьянина-шахтёра.

В 1927 году окончил Карачевский общественно-экономический техникум по специальности обществовед-экономист. После техникума работал директором школы фабрично-заводского обучения и учебно-производственного комбината в Брянской области.

В 1931 году стал заместителем начальника строительства цементного завода, заместителем управляющего трестом «Филистрой» в Московской области. В качестве руководителя строительных контор работал на возведении заводов тяжелой промышленности, Академии коммунального хозяйства в Москве. Возглавлял отдел капитального строительства в Народном комиссариате судостроительной промышленности. В 1936 году, не прекращая трудовую деятельность, получил высшее строительное образование, окончив Московский хозяйственно-строительный институт по специальности инженер-строитель.

С началом Великой Отечественной войны был назначен заместителем начальника, затем начальником 6-го управления военно-полевого строительства на Северо-Западном фронте. В мае 1942 года отозван с фронта и назначен начальником Отдельной строительно-монтажной части № 17 на строительстве завода по производству особо прочной стали для военной техники в городе Электростали.

После войны возглавлял трест Минтяжстроя СССР, работал начальником управления строительства и членом Волгоградского совнархоза. В 1952 году прошел двухгодичные высшие инженерные курсы Минстроя СССР. В течение года исполнял обязанности директора Московского филиала Центрального института типовых проектов Госстроя СССР.

В 1964 году, в возрасте 59 лет, Алексей Сергеевич приехал в Тюмень. Министр строительства предприятий нефтяной и газовой промышленности СССР Алексей Кириллович Кортунов увидел в нём талантливого организатора строительного производства и предложил должность уполномоченного Газпрома по строительству в Тюменской области. Барсуков на месте разрабатывал тактику и стратегию крупномасштабного обустройства нефтяных и газовых месторождений Западной Сибири.

В феврале 1965 года было создано Главное территориальное управление по строительству предприятий нефтяной и газовой промышленности в Западной Сибири «Главтюменнефтегазстрой», первым руководителем которого стал Алексей Сергеевич Барсуков.

С этого времени началось целенаправленное и скоординированное масштабное строительство на необжитых территориях региона, осуществлявшееся с одновременным становлением главка. Велось создание крупных строительных организаций на основе разрозненных мелких подразделений отрасли, действовавших в Тюменской области, а также комплектование их рабочими, инженерно-техническими кадрами, оснащение техникой. В кратчайшие сроки, в суровых природно-климатических условиях, создавался мощнейший нефтегазовый комплекс региона. Были введены в эксплуатацию нефтепровод Шаим – Тюмень и газопровод Игрим – Серов, нефтеналивная станция в Тюмени и многие другие объекты.

К 1967 году «Главтюменнефтегазстрой» стал ведущей организацией в строительстве и дальнейшем развитии базовых северных городов: Сургута, Урая, Нижневартовска, Надыма, Нефтеюганска. Предприятия главка сооружали детские сады, школы, больницы, Дворцы культуры, прокладывали дороги. За выдающиеся результаты главк во главе с А.С. Барсуковым был награжден орденом Ленина.

В 1970 году Алексей Сергеевич оставил должность руководителя из-за ухудшившегося здоровья. За период его работы численность работников нефтегазостроительного комплекса Западной Сибири увеличилась с 1400 до 26 000 человек. Он руководил советскими специалистами на обустройстве нефтяных промыслов Северная Румейла в Ираке. В 1973 году окончательно вышел на заслуженный отдых.

За свою карьеру был удостоен орденами Ленина, Красной Звезды, Трудового Красного Знамени, «Знак Почета», орденом Двуречья (высшая награда Ирака); медалями «За оборону Москвы», «За победу над Германией в Великой Отечественной войне 1941-1945 гг.», «За доблестный труд в Великой Отечественной войне 1941-1945 гг.», «За освоение целинных земель». Удостоен званий «Заслуженный строитель РСФСР», «Отличник Министерства газовой промышленности».