Флегонт Яковлевич Показаньев родился 17 января 1922 г. в с. Карасье Курганского уезда в семье крестьянина. В 1930 г. семья Показаньевых была раскулачена и выслана в Сургутский район. В 1941 г. Флегонт Яковлевич окончил сургутскую среднюю школу.
Ф.Я. Показаньев – участник Великой Отечественной войны. С 1942 по 1957 гг. проходил службу в Красной Армии. В 1950 г. с отличием окончил дивизионную партийную школу, в 1952 г. – курсы усовершенствования офицерского состава Забайкальского военного округа (ЗабВО). За участие в Великой Отечественной войне был награждён медалями: «За победу над Германией в Великой Отечественной войне 1941-1945 гг.» (1946 г.), «За отвагу» (1948 г.), «За боевые заслуги» (1948 г.), почётным знаком «Ветеран 2-й гвардейской армии» (1984 г.), знаком «Ветеран 87-й гвардейской стрелковой дивизии» (1984 г.), орденом Отечественной войны I степени (1985 г.). Его имя навечно занесено на Доску Почета ЗабВО.
После увольнения в запас Ф.Я. Показаньев работал учителем истории в вечерней школе, секретарём партийной организации, инструктором райкома КПСС, вёл большую просветительскую работу, будучи ответственным секретарём районной организации общества «Знание».
Ф.Я.Показаньев – основатель Сургутского краеведческого музея. Он активно занимался краеведческой работой, популяризацией истории Сургута и Сургутского района. К 1963 году ему удалось собрать сотни экспонатов по истории города и края, которые легли в основу первой экспозиции. Открытие музея состоялось 1 декабря 1963 г. и было приурочено к празднованию 370-летия Сургута.
Флегонт Яковлевич осуществлял большую просветительскую работу: читал лекции о нашем крае, проводил экскурсии в музее, публиковал очерки об истории сургутской ссылки в местной газете «К победе коммунизма».
В 1966 г. по инициативе Ф.Я. Показаньева было открыто городское отделение Всероссийского общества охраны памятников истории и культуры.
Им было опубликовано более 200 краеведческих статей, издано немало книг: «Город Сургут и Сургутский район», «Сургут в годы Великой Отечественной войны», «Краткий очерк истории Сургутской партийной организации» (в соавторстве с И.П. Захаровым), «Сургут» (в соавторстве с Л.В. Петровой).
Более 25 лет Флегонт Яковлевич посвятил поиску имён и составлению списка сургутян, воевавших и погибших в годы Великой Отечественной войны. Ему удалось установить имена 1065 чел. В 1968 г. он стал инициатором открытия памятника воинам-сургутянам (ныне Мемориал Славы). В 1970 г. совместно с И.П. Захаровым и Г.Ф. Пономарёвым Флегонт Яковлевич создал Совет ветеранов войны и труда г. Сургута. С 1970 по 1981 гг. он являлся заместителем председателя Совета, а с 1981 по 1989 гг. – его председателем.
В 1967 г. Флегонту Яковлевичу было присвоено звание «Заслуженный работник культуры РСФСР», в 1978 г. – вручена медаль «Ветеран труда».
7 апреля 1988 г. Ф.Я. Показаньев был удостоен звания «Почётный гражданин города Сургута».
2 марта 1996 г. Флегонта Яковлевича Показаньева не стало. Похоронен в г. Сургуте.
В 2000 г. в честь Ф.Я. Показаньева названа одна из улиц г. Сургута.